среда, 24 октября 2018 г.

Парадокс Монти Холла простыми словами (Видео)

Это одна из самых известных задач в теории вероятности, которую сколько не пытались объяснить нормально и простыми словами, почти не у кого не получалось. Блог Econ Dude сегодня попробует её объяснить еще раз максимально просто. Не уверен что у меня получиться, но я попробую.

Парадокс Монти Холла простыми словами (Видео) / Econ Dude

Есть два стула... 

Есть три двери, за двумя приза нет (там свиньи), за одной есть приз. Вам позволяют открыть одну из дверей на ваш выбор, вы открываете. Вероятность получить приз, как вы понимаете, 1/3, то есть примерно 33%.

Шанс случайный и равный.

Вы говорите ведущему, что вы решили открыть например дверь номер 1, первую. А гадкий ведущий берёт, и открывает вместо этого другую дверь, например дверь номер 3, и в двери номер 3 приза нет!

Тут ведущий уже вас запутал, и он говорит:

Брат, ты всё еще хочешь открыть дверь номер 1, твой изначальный выбор? Или может давай откроем дверь номер 2?

Вопрос в задачке такой:

Нужно ли вам менять ваше решение и открывать другую дверь, либо не нужно, либо смена решения не имеет значения?

Очевидный ответ и простая логика говорят что вероятность найти приз изначально 1/3 - 33%. И что тот факт, что ведущий открыл другую дверь, и там приза не оказалось, вообще никак не мог повлиять на эту вероятность. Ну типа ок, теперь задача такая, что есть две двери, в одной приз есть, а в другой нет, шанс взять приз 1/2, 50%. Меняй решение, не меняй - значения не имеет, шанс всегда 50%.

И всем ломает мозг то, что на самом деле верным решением будет всегда менять свой выбор. И почти никто не может сразу понять, с какого бодуна это будет более разумным решением, где меня обманули и как так вышло?

Парадокс Монти Холла - это замечательная задачка, так-как она ломает мозг и заставляет людей думать.

Вы могли узнать про неё из фильма "Двадцать Одно", или откуда-то еще, но в любом случае это старая задачка и она была много где.

Итак, решение. Все статьи и видео по этой теме 50-75% времени посвящают описанию задачи, а не объяснению решения, что весело.

Решение такое. Обманка в том, что когда ведущий открывает дверь за вас, вы начинаете думать, что у вас новая и вторая задачка. Что теперь задача это как подброс монетки, где есть два исхода и два варианта. Ведь вы точно знаете, что один плохой вариант ведущий уже исключил, остался один плохой, и один хороший.

Тут мозг включает стоп-кран и приходит к вероятности 50 на 50.

А прикол в том, что у вас на руках не другая новая задачка, а та-же самая. И это решение ведущего, открыть другую дверь, где приза нет - это часть первой и одной задачи. Просто когда он это сделал он вас надурил.

Всё что вам нужно сделать чтобы понять эту задачку, это прикинуть ваши вероятности так, как будто всё это одна задача, а не две.

Если вы НЕ меняете ваше решение, какой шанс что вы угадаете где из двух дверей лежит приз. Вы думайте 50%? 1 из 2?

Давайте думать еще раз. Есть не две двери, а три двери!

Шанс, что приз в первой, которую вы изначально выбрали, не 50%, а 1 к 3, как и был изначально (33%). Шанс, что приз во второй двери тоже 33%, 1 к 3. Шанс, что приз в третьей двери теперь 0%, ибо вы уже знаете, что его там нет.

А куда делись эти 33% процента шанса из третьей двери?

Они ушли в шанс успеха при смене вашего решения!

Это мозг не всегда может понять. 

Суть в том, чтобы начать думать о том, какую дверь вы выбрали изначально, а про это никто не думает. Если вы изначально выбрали дверь без приза (а ведущий потом открыл другую, тоже без приза), то шанс, что при смене решения вы победите 100%. Если вы выбрали дверь с призом изначально, а ведущий открыл дверь без приза, и вы меняете решение, то шанс, что вы проиграете в итоге 2 к 3 (66%), так-как шанс выбрать изначально дверь с призом 33% (шанс успеха).

Вот тут внимательно.

Меняя решение мы имеем шанс победить либо 100%, либо 33%, в зависимости от того, был ли приз при нашем первом выборе за дверью изначально. Средний шанс победить меняя решение будет (100 + 33) / 2 = 66.5%.

Возможно тут я немного криво наколдовал...

Если мы решение не меняем, то опять-же есть два варианта.

Либо изначально мы выбрали дверь с призом, шанс этого был 33%. Либо мы выбрали изначально дверь без приза, и тогда не меняя решение мы просто приходим к тем-же изначальным 33% шанса.

В чём итоговая хитрость и ответ?

В том, что меняя решение у вас есть шанс как-бы кинуть монетку, кубик и кости еще раз, испытать удачу еще раз и попробовать два раза, а если вы решение не меняете, то у вас только одна попытка. С одной попыткой вероятность победить 1 к 3 (33%), а с двумя в два раза больше, около 66%!

Всё ровно не поняли? Давайте проще.

Представим что у нас задача еще легче, нам нужно подбросить монетку так, чтобы выпал орёл. У нас есть выбор, либо бросить монетку один раз, либо бросить её два раза. Бросить два раза - вот это и есть аналог смены решения в парадоксе Монти Холла. Вы бросите монетку два раза или один раз, если орёл - это выигрыш $100,000?

Конечно вы сделайте 2 попытки!

Вы можете как блондинка думать, что нам не нужно кидать монетку два раза, а зачем, если шанс выпадения орла всегда 50%?

Но любому очевидно, что нужно подкинуть её еще раз, так-как шанс, что выпадет орёл в двух попытках будет не 50%.

50% это записывается как 0.5. Когда мы второй раз бросаем монетку, у нас какой шанс что выпадет орёл второй раз? 0.5*0.5=0.25 (25%). Но попытки-то у нас было уже две, в первой шанс был 50%, значим мы складываем 50% и 25%, получаем 75% вероятности с двух попыток, и 50% с одной.

Еще одна попытка, третья?

Будет: 50% + 25% + 12.5% = 87.5%

Еще одна, четвёртая попытка?

50% + 25% + 12.5% + 6.25% = 93.75%. У нас так будет вечное приближение к 100% с увеличением количества попыток.

Вся разница между этими двумя задачками в том, что с монетками у нас 50% вероятность, а с дверями 33%. И вся суть в том, нужно ли еще раз принять решение и сделать попытку. А что там ведущий делает с дверями - можете вообще не думать про это, это роли не играет. Играет роль ваше решение второй попытки.

Как и сказано в вики, рептилойдами, которые заполняют вики, чтобы обычный человек понял эту задачку, мы просто представляем не 3 двери, а 100. И чтобы лучше понимать, давайте не думать о вероятности выиграть приз, а о вероятности его не выиграть. Тут у Русских проблема сидит в мозге, ибо у нас шанс и вероятность - это одно слово и понятие. А у американцев в английском есть понятие - odds (малая вероятность, низкие шансы), а так-же есть слово chance (шанс). В Русском языке даже такой категории мышления нет, поэтому нам труднее это понимать. Английский язык не всегда проще, иногда там есть вещи и категории мышления, которых нет у нас.

И вот если думать не про шанс, а про odds (что даже перевести адекватно не могут), то в ситуации где 100 дверей всё проще.

Мы делаем выбор, а ведущий оставляет нам 2 двери, убирая 98 штук, оставляя нам только ту, которую мы выбрали изначально, и еще одну случайную.

Когда ведущий убирал 98 дверей, он не мог убрать ту дверь, которую мы выбрали изначально. Поэтому наш изначальный выбор двери имеет шанс приза в ней 1 к 100, 1%. Мы изначально выбирали одну дверь из 100.

У нас есть и была огромная вероятность изначально выбрать ту дверь, где приза нет, так-как дверей целых 100 штук (можете представить что их вообще миллионы). И когда вам потом ведущий, убрав 98 дверей, предлагает изменить свой выбор, то с огромной вероятностью приз будет именно в той двери, которую он оставил, а не в той, которую вы изначально выбрали, так-как по условиям задачи он не мог убрать дверь с призом. Конечно, мы, обычные люди, можем подумать, что ведущий нас дурит, играет на нашей психологии, он-то знает, где приз.И может быть мы изначально сделали верный выбор, а он нас пытается надурить и зная что мы уже почти держим приз в руках, предлагает изменить решение. Но правда в том, что математику он не может надурить, как и не может изначально знать угадаем мы верную дверь, или нет, это не в его власти.

Как следствие всегда нужно менять свой выбор в таких задачках, хотя на самом деле в жизни таких ситуаций практически не бывает, это чистая теория для разминки мозгов, но согласитесь, мозги она разминает хорошо.

Чтобы доказать то, что выбор нужно менять себе лично, я, Econ Dude, увлекаясь созданием игр, написал специальную программу - симулятор Парадокса Монти Холла. Написал программу буквально за 15 минут.

И если там хотя-бы раз 100 потыкать эти двери, а так-же использовать мою специальную функцию просмотра что за скрытой дверью, то вы получите внизу статистику около 66% вероятности победы при смене решения, и около 33% если решения не менять. Я когда делал эту программу и видео про неё так и не понял что я сделал и почему там именно 33% и 66% выходит, но даже не понимая простой тест и практика мне показала, что смена решения - грамотная, верная и оптимальная стратегия.

Гляньте моё видео и можете скачать эту программу по ссылке в описании в ютубе, сами проведите тест 100 раз и убедитесь: